En general, convergència puntual no implica convergència en la mesura. Tanmateix, per a un espai de mesures finites, això és cert i, de fet, veurem en aquesta secció que hi ha molt més.
La convergència gairebé a tot arreu implica convergència en mesura?
L'espai de mesura en qüestió és sempre finit perquè les mesures de probabilitat assignen probabilitat 1 a tot l'espai. En un espai de mesura finita, gairebé a tot arreu la convergència implica convergència en la mesura. Per tant, gairebé convergència implica convergència en probabilitat.
La convergència puntual implica continuïtat?
Tot i que cada fn és contínua a [0, 1], el seu límit puntual f no ho és (és discontinu a 1). Per tant, la convergència puntual no preserva, en general, la continuïtat.
La convergència a L1 implica convergència puntual?
Així que la convergència puntual, la convergència uniforme i la convergència L1 no s'impliquen mútuament. Tanmateix, tenim uns quants resultats positius: Teorema 7 Si fn → f en L1, aleshores hi ha una subseqüència fnk tal que fnk → f puntual a.e.
Què és la convergència en la teoria de la mesura?
En matemàtiques, més concretament en teoria de mesures, hi ha diverses nocions de convergència de mesures. Per tenir una idea general intuïtiva del que s'entén per convergència en mesura, considereu una seqüència de mesures μ en un espai, compartint una col·lecció comunade conjunts mesurables.