Sigui P un subgrup p de Sylow de G. … Si G és simple, llavors té 10 subgrups d'ordre 3 i 6 subgrups d'ordre 5. Tanmateix, com que aquests grups són tots cíclics d'ordre primer, qualsevol element no trivial de G està contingut com a màxim en un d'aquests grups.
Els grups P són cíclics?
El grup trivial és l'únic grup d'ordre 1, i el grup cíclic C p és l'únic grup d'ordre p.
Els subgrups són cíclics?
Teorema: tots els subgrups de un grup cíclic són cíclics. Si G=⟨a⟩ és cíclic, aleshores per a cada divisor d de |G| existeix exactament un subgrup d'ordre d que pot ser generat per a|G|/d a | G | / d. Prova: Sigui |G|=dn | G |=d n.
Els subgrups P Sylow són normals?
Si G té precisament un subgrup p de Sylow, ha de ser normal del subgrup únic d'un ordre donat és normal. Suposem que un subgrup p de Sylow P és normal. Aleshores iguala els seus conjugats. Així, segons el Tercer Teorema de Sylow, només hi pot haver un subgrup p de Sylow.
Els subgrups P sylow són abelians?
Provem que els p-subgrups de Sylow d'un grup finit G són abelians si i només si les mides de classe dels p-elements de G són tots coprims a p, i, si p ∈ { 3, 5 }, el grau de cada caràcter irreductible del bloc p principal de G és copprim a p.
