Un punt aïllat està tancat (no hi ha punts límit per contenir). Una unió finita de conjunts tancats és tancada. Per tant, cada conjunt finit és tancat. (vi) Un conjunt obert que conté tots els nombres racionals ha de ser necessàriament tots de R.
Els conjunts tancats poden tenir punts aïllats?
Un conjunt tancat pot tenir-ne un? Un conjunt obert U no pot tenir un punt aïllat perquè si x ∈ U i δ > 0 aleshores (x − δ, x + δ) conté un interval i, per tant, conté infinits punts de U. D' altra banda, per a qualsevol x, {x} és un conjunt tancat que té un punt aïllat, és a dir, la x mateixa.
Els punts únics estan tancats?
I en qualsevol espai mètric, el conjunt format per un sol punt està tancat, ja que no hi ha punts límit d'aquest conjunt!
Són punts límit de punts aïllats?
Un punt p és un punt límit de S si cada veïnatge de p conté un punt q ∈ S, on q=p. Si p ∈ S no és un punt límit de S, llavors s'anomenapunt aïllat de S. S es tanca si cada punt límit de S és un punt de S.
El punt aïllat és continu?
Una funció és continua en cada punt aïllat.
